TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN TIẾN SĨ  

- Tên đề tài luận án tiến sĩ: Biểudiễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số lớp nhóm Lie reductive thực thấp chiều.

- Chuyên ngành: Toán Giải tích.

- Mã số: 62 46 01 02.

- Họ và tên NCS: Đỗ Thị Phương Quỳnh.

- Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Đỗ Ngọc Diệp.

- Đơn vị đào tạo: Trường Đại học Sư phạm.

- Cơ sở đào tạo: Đại học Thái Nguyên.

NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN

Luận án nghiên cứu về giải tích điều hòa trên các nhóm Lie thực thấp chiều SL(2,R); SL(3,R); SU(2,1); Sp(4,R). Chúng tôi đã phân loại các biểu diễn của các nhóm này đồng thời thông qua biểu diễn cảm sinh, lượng tử hóa trường, chúng  tôi đã nghiên cứu công thức vết của biểu diễn tự đẳng cấu trên các hàm thuộc đại số Hecke, và tính công thức vết trên các nhóm con nội soi tương ứng. Dùng công thức vết Arthur-Selberg chúng tôi đã tìm ra công thức tổng Poisson trên mỗi nhóm Lie đó. Các kết quả chính của luận án bao gồm:

1. Công thức tường minh về tích phân quỹ đạo trên các nhóm con nội soi của nhóm Lie SL(2,R); SL(3,R); SU(2,1); Sp(4,R).

2. Công thức tính vết tường minh của các biểu diễn chuỗi rời rạc của các nhóm Lie trên.

3. Công thức tổng Poisson cho mỗi nhóm Lie kể trên. 

Kết quả chính của luận án được viết thành 03 bài được đăng trên các tạp chí quốc tế và 01 bài đang gửi đăng trên tạp chí quốc tế.

CÁC ỨNG DỤNG, KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN HOẶC NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU

* Khả năng ứng dụng trong thực tiễn: 

            Đề tài thực hiện cụ thể hóa một số lĩnh vực của Chương trình Langlands cho các nhóm thấp chiều  bằng các tính toán cụ thể trên nhóm Lie hạng 1 và hạng 2. Kết quả thu được của đề tài cho một nhập môn dễ hiểu về Chương trình Langlands. Vì vậy, kết quả mà luận án thu được có thể làm tài liệu chuyên khảo cho học viên cao học, nghiên cứu sinh, các nhà nghiên cứu trong cùng lĩnh vực.

 * Một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu:

1. Tính công thức tích phân quỹ đạo trên nhóm nội soi của nhóm SO(3, 1), từ đó đưa ra công thức tính vết cho biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm  và định lí về tổng Poisson cho nhóm này.

2. Với cách nghiên cứu hoàn toàn tương tự ta có thể tính toán công thức vết, tổng Poisson tường minh cho các nhóm có hạng cao hơn nữa. 

INFORMATION ABOUT DOCTORAL DISSERTATION

-Title of dissertation:  “Automorphic representations and spectral decomposition of the regular representation of some real reductive Lie groups of low dimension.”.

- Speciality:  Mathematical Analysis

- Code: 62 46 01 02

- PhD. Candidate: Do Thi Phuong Quynh.

- Scientific Supervisor: Prof.DSc Đỗ Ngọc Diệp

- Training institution: Thai Nguyen University of Education.

THE NEW SCIENTIFIC FINDINGS

The thesis  is devoted to studying Harmonic Analysis of Lie  groups of low dimension  SL(2,R); SL(3,R); SU(2,1); Sp(4,R). We have classified irreducible representations of these groups. Using induced representations, procedure of quantization of field,  we have studied the trace formula of automorphic representations, and have computed trace of representations as distributions on functions of Hecke algebra and reduce them on endoscopy subgroups of those Lie groups. Using the Arthur-Selberg trace formula, we have found a version of Poisson summation formula on each indicated Lie group. The main results of the thesis are as follows:

1.    Explicit formulas for orbital integrals on endoscopic subgroups of Lie groups  SL(2, R), SL(3, R), SU(2, 1), Sp(4, R).

2.    Explicit trace formulas of discrete series representations on endoscopic subgroups of the indicated Lie groups.

3.     Theorems of Poisson summation formula for each Lie groups mentioned above.

The results of the thesis are published in 03 papers in international journals, and an article has been submitted for publication in an international journal.

PRACTICAL APPLICABILITY AND ISSUES NEEDING FOR FURTHER STUDIES

* Practical applicability:

The thesis realizes some aspects of  the Langlands Program for low-dimensional groups, with specific calculations. The results of the research provide  an easy and straightforward introduction to the Langlands Program. Therefore the results could be used as some comprehensive introduction to the subject for master students, PhD students, and also young researchers in the domain of mathematical analysis, harmonic analysis and theory of Lie groups.

* Issues needing for further studies:

1. Compute orbital integrals on endoscopy subgroup of group SO (3,1),  and then deduce trace formula of automorphic representations of the Lie group  and the Poisson summation formula for this group.

2. A similar study could produce similar results of the trace formulas,  Poisson summation formulas for groups of higher rank.

Nguồn: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên.