TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN TIẾN SĨ

Tên đề tài luận án tiến sĩ: “Điều kiện cần và đủ cho nghiệm của bài toán cân bằng vectơ qua dưới vi phân suy rộng”

Ngành: Toán Giải tích

Mã số: 9460102

Họ và tên NCS: Trần Thị Mai

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Đỗ Văn Lưu

Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên

NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN

Luận án đạt được các kết quả sau:

1. Thiết lập các điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu Henig và nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ không trơn với các hàm Lipschitz địa phương trong không gian Banach có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập bằng công cụ dưới vi phân Michel--Penot.
2. Thiết lập các điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán bất đẳng biến phân vectơ không trơn với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức và ràng buộc tập, trong đó nón là một đa diện lồi và nghiệm hữu hiệu được xét theo một nón lồi đóng nhọn qua dưới vi phân suy rộng.
3. Thiết lập các điều kiện cần và đủ cho nghiệm LU--tối ưu địa phương của bài toán tối ưu giá trị khoảng trong không gian Banach. Các định lý đối ngẫu yếu và mạnh kiểu Wolfe và Mond--Weir được tương ứng được thiết lập.

CÁC ỨNG DỤNG, KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN

HOẶC NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU

1. Các ứng dụng, khả năng ứng dụng trong thực  tiễn

        Bài toán cân bằng vectơ bao gồm nhiều lớp bài toán quan trọng mà ta đã biết như: Bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ; Bài toán tối ưu vectơ; Bài toán điểm bất động; Bài toán bù vectơ; Bài toán cân bằng Nash vectơ… Khái niệm dưới vi phân suy rộng là tổng quát hóa một số khái niệm dưới vi phân đã biết như các dưới vi phân Clarke, Michel--Penot, Mordukhovich, Treiman… Việc sử dụng ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng để nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cho bài toán cân bằng vectơ giúp chúng ta nhận được các kết quả tốt hơn cho các bài toán này tối ưu không trơn

2. Những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu

• Nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho nghiệm xấp xỉ của bài toán cân bằng vectơ qua dưới vi phân suy rộng.
• Nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ với ràng buộc cân bằng qua dưới vi phân suy rộng.
• Nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu hai cấp qua dưới vi phân suy rộng.

INFORMATION OF DOCTORAL DISSERTATION

Dissertation title: “Necessary and sufficient conditions for solutions of vector equilibrium problems via convexificators”

Specialty: Mathematical Analysis

Code: 9460102

PhD. Candidate: Tran Thi Mai

Supervisor: Prof. Dr Do Van Luu

Training Institute: University of Education - Thai Nguyen University

NEW SCIENTIFIC FINDINGS OF THE DISSERTATION

The dissertation has:

1. Established the necessary and sufficient conditions for Henig efficient solutions and superefficient efficient solutions of nonsmooth vector equilibrium problems with locally Lipschitz functions defined on a Banach space involving inequality, equality and set constraints via Michel - Penot subdifferential.
2. Established the necessary and sufficient conditions for weakly efficient solutions of nonsmooth vector variational inequalities  involving cone, equality and set constraints, where the cone is convex and the efficient solutions are determined with respect to a polyhedral convex cone via convexificators.
3. Established the necessary and sufficient conditions for local optimal solutions of the interval-valued optimization problem in Banach spaces. Weak and strong duality theorems of Mond - Weir and Wolfe types are correspondently   established.

APPLICATIONS IN PRACTICE

AND RECOMMENDATIONS FOR FURTHER STUDIES

1. Practical applications of the research results

The vector equilibrium problems encompass many classes of problems of applied mathematics including quasi-optimization problems, vector variational inequalities problems, vector optimization problems, fixed point problems, vector complementarity problems, vector Nash equilibrium problems, etc. The notion of convexificator is a generalization of some notions of known subdifferentials such as the subdifferentials of Clarke, Michel - Penot, Mordukhovich, Treiman, etc. The use of convexificators for studying necessary and sufficient conditions for vector equilibrium problems gives us a more general result on optimality conditions of nonsmooth problems.

2. Recommendations for further studies

• Study optimality conditions for approximate solutions of vector equilibrium problems via convexificators.
• Study optimality conditions for vector equilibrium problems with equilibrium constraints via convexificators.
• Study optimality conditions for bi-level optimization problems via convexificators.

Nguồn: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên.