TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN TIẾN SĨ

Tên đề tài luận án: “Về cấu trúc của vành nửa nhóm số định nghĩa bởi iđêan định thức”.

Ngành: Đại số và Lý thuyết số. 

Mã số: 9 46 01 04

Họ và tên NCS: Đỗ Văn Kiên

Tập thể hướng dẫn:    

1. PGS. TS. Naoyuki Matsuoka

2. PGS. TS Đoàn Trung Cường.

Đơn vị đào tạo: Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên.

Cơ sở đào tạo: Đại học Thái Nguyên.

NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN

 +  Luận án xác định được hệ sinh tối tiểu của iđêan định nghĩa của vành nửa nhóm số khi các số giả Frobenius của nửa nhóm số là bội của một số nguyên. Đồng thời miêu tả cụ thể giải tự do tối tiểu của vành nửa nhóm số.

+ Trong trường hợp nửa nhóm số có chiều nhúng cực đại, Luận án đưa ra được các đặc trưng để iđêan định nghĩa của vành nửa nhóm số là một iđêan định thức. Từ đó, Luận án tìm được hệ sinh tối tiểu của đêan định nghĩa và miêu tả chi tiết giải tự do tối tiểu của vành nửa nhóm số.

+ Khi iđêan định nghĩa của một vành nửa nhóm số là một iđêan định thức, Luận án đã chỉ ra đại số Rees hình thức của iđêan định nghĩa là Noether và Cohen-Macaulay. Hơn nữa, đại số này là Gorenstein khi và chỉ khi vành nửa nhóm có chiều nhúng 3.

+ Luận án giới thiệu hai lớp vành mới là vành giãn chính tắc và vành giãn thưa. Khi iđêan định nghĩa của một vành nửa nhóm số là một iđêan định thức,  Luận án chỉ ra được vành nửa nhóm số là một vành giãn chính tắc và nếu nửa nhóm số có chiều nhúng cực đại thì vành nửa nhóm tương ứng là một vành giãn thưa.

CÁC ỨNG DỤNG/ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN

HAY NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU

 + Trong trường hợp nửa nhóm số có chiều nhúng cực đại, Luận án đưa ra được các đặc trưng để iđêan định nghĩa của vành nửa nhóm số là một iđêan định thức. Bằng cách dùng một số chương trình như Macaulay2, chúng tôi dự đoán rằng các đặc trưng này vẫn đúng nếu bỏ điều kiện nửa nhóm số có chiều nhúng cực đại.

+ Vành giãn chính tắc được định nghĩa là một vành (R, m) địa phương Cohen-Macaulay chiều 1 sao cho có một iđêan bất khả quy I  của R để bình phương iđêan cực đại của vành R/I là một iđêan chính.  Từ đó vấn đề nghiên cứu các lớp vành địa phương sao cho bình phương của iđêan cực đại được sinh bởi một phần tử là vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu.

INFORMATION OF DOCTORAL DISSERTATION

Research title: “On the structure of  numerical semigroup rings defined by determinantal ideals”

Major: Algebra and Number Theory     

Code: 9 46 01 04

PhD student: Do Van Kien

Research supervisors:

 1. Assoc. Prof. Dr. Naoyuki Matsuoka

2. Assoc. Prof. Dr. Đoàn Trung Cường

Training institution:  University of Sciences - Thai Nguyen University.

NEW SCIENTIFIC FINDINGS OF THE DISSERTATION

 + The dissertation shows a minimal system of generators of the defining ideal of numerical semigroup rings when the pseudo-Frobenius numbers of numerical semigroups are multiples of a fixed integer.  Furthermore, the minimal graded free resolutions of  numerical semigroup rings are clearly described.

+ In case numerical semigroups have maximal embedding dimension, the dissertation gives the characterizations so that the defining ideals of  semigroup rings become determinantal ideals. As an application, the dissertation determines minimal systems of generators of the defining ideals and explicitly describe the minimal graded free resolutions of  numerical semigroup rings.

+ When the defining ideals of  semigroup rings are determinantal ideals,  the dissertation shows the symbolic Rees algebras of  the defining ideals are Noetherian and Cohen-Macaulay. Moreover, these algebras are Gorenstein if and only if  the numerical semigroups have embedding dimension 3.

+ The dissertation introduces  two notions of canonical stretched rings and sparse stretched rings. When the defining ideals of  semigroup rings are determinantal ideals,  the dissertation shows numerical semigroup rings are canonical stretched and if numerical semigroups have maximal embedding dimension  then the numerical semigroup rings are maximum sparse.

APPLICATIONS IN PRACTICE

AND RECOMMENDATIONS FOR FURTHER STUDIES

 + In case the numerical semigroups have maximal embedding dimension, the dissertation gives some characterizations so that the defining ideals of  semigroup rings become determinantal ideals. By computation through some program like Macaulay2, we conjecture that these characterizations will still hold true once  the assumption “numerical semigroups have maximum embedding dimension”  is removed.

+ A canonical stretched ring is defined to be a one-dimensional Cohen-Macaulay local ring (R, m) such that there is an irreducible ideal I of R satisfying that the square of maximal ideal of R/I  is principal.  Since then, a natural problem is study local rings in which the square of maximal ideals are generated by one element.

Nguồn: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên