Tên đề tài luận án: Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian Banach.

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 62 46 01 02

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

1. TS. Nguyễn Thị Thu Thủy – Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên;

2. GS. TS. Nguyễn Bường – Viện Công nghệ thông tin, Viện Hàn lâm khoa học và Công nghệ Việt Nam.

Cơ sở giáo dục đại học thành viên: Trường Đại học Sư phạm

Cơ sở đào tạo: Đại học Thái Nguyên

NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN

1. Luận án nghiên cứu phương pháp lai ghép đường dốc nhất và phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian Banach mà không cần dùng đến tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.

2. Đối với phương pháp lai ghép đường dốc

Đề xuất ba phương pháp lặp ẩn và hai phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc hội tụ mạnh cho bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu. Những kết quả này có thể coi là mở rộng và cải tiến cho các kết quả của các tác giả Nguyễn Bường, Nguyễn Thị Quỳnh Anh (2011) và Nguyễn Bường, Lâm Thị Thùy Dương (2011) trong không gian Hilbert; Chen R., He H. (2007) và Ceng L. C., Ansari Q. H., Yao J. C. (2008) trong không gian Banach, trong đó chúng tôi đã loại bỏ được điều kiện liên tục yếu của ánh xạ đối ngẫu của không gian Banach.

3. Đối với phương pháp hiệu chỉnh

- Thiết lập phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach lồi đều có chuẩn khả vi Gâteaux đều.

- Kết hợp phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov với phương pháp điểm gần kề quán tính để đưa ra phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính cho bài toán tương tự.

- Dùng kĩ thuật lặp hiện kết hợp phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov để xây dựng phương pháp hiệu chỉnh lặp cho bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach q-trơn đều.

KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU

* Khả năng ứng dụng trong thực tiễn:

  Khôi phục ảnh, khôi phục tín hiệu, điều khiển năng lượng trong hệ thống mạng CDMA hay tạo chùm băng rộng, điều khiển tối ưu... và một số ngành khoa học khác.

* Một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu:

- Nghiên cứu nhằm giảm nhẹ các điều kiện đơn điệu của bài toán bất đẳng thức biến phân.

- Nghiên cứu các tiêu chuẩn dừng của các phương pháp lặp đã đề xuất từ đó có cơ sở để so sánh tốc độ hội tụ của các phương pháp lặp đã đề xuất so với các kết quả của một số tác giả khác.

- Nghiên cứu giải bài toán bất đẳng thức biến phân tách (bất đẳng thức biến phân nhiều bậc).

INFORMATION OF DOCTORAL DISSERTATION

Title of dissertation: Iterative methods for variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups in Banach spaces

Speciality: Mathematical Analysis

Code: 62 46 01 02

PhD. Candidate: Pham Thanh Hieu

Scientific Supervisors:

      1. Nguyen Thi Thu Thuy, PhD. – College of Science, Thai Nguyen University

      2. Prof. Nguyen Buong, PhD. – Institute of Information Technology, Vietnam Academy of Science and Technology

Training institution: College of Education, Thai Nguyen University

THE NEW SCIENTIFIC FINDINGS

1. The dissertation studies the problem of solving variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups in Banach spaces by the hybrid steepest descent method and regularization methods in Banach spaces without condition of sequentially weakly continuous property of normalized duality mappings.

2. For the hybrid steepest descent method

We propose three implicit and two explicit hybrid steepest descent methods which strongly converge to the unique solution of an accretive variational inequality over the feasible set of common fixed points of nonexpansive semigroups on Banach spaces with uniformly Gâteaux differentiable norm. The results presented in this work improve some known results of Buong, Quynh Anh (2011) and Buong, Thuy Duong (2011) in Hilbert spaces; Chen, He (2007), Ceng, Ansari, Yao (2008) in Banach spaces without the use of sequentially weak continuity of the normalized duality mapping.

3. For regularization methods

- We present and prove strong convergence theorems for the Browder-Tikhonov regularization method for accretive variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups on Banach spaces with uniformly Gâteaux differentiable norm.

- We combine the Browder-Tikhonov regularization method with the inertial proximal point method for the same problems.

- A coupling method of an explicit iterative scheme and the Browder-Tikhonov regularization method is proposed to solve accretive variational inequalities in q-uniformly smooth Banach spaces.

PRACTICAL APPLICABILITY AND ISSUES NEEDING FOR FURTHER STUDIES

* Practical applicability:

Signal and image recovery, power control in CDMA networks, colocation bandwidth, optimal control ... and some other scientific and technological disciplines.

* Issues needing for further studies:

- Weaken the assumptions on the variational inequality problem mapping.

- Study stopping criteria of the proposed methods and compare the convergence rate of these methods.

- Extend the proposed methods to split variational inequalities.