TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN TIẾN SĨ

Tên đề tài luận án: “Về môđun Cohen - Macaulay suy rộng chính tắc và một số quỹ tích không Cohen - Macaulay trên vành Noether địa phương”

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 9 46 01 04

Họ tên nghiên cứu sinh: Lưu Phương Thảo

Tập thể hướng dẫn:

1. GS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn

2. TS. Trần Nguyên An

Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên - Đại học Thái Nguyên

NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN

1. Giới thiệu hệ tham số chính tắc và chỉ ra mối quan hệ giữa hệ tham số chuẩn tắc với hệ tham số chính tắc của một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương. Thiết lập các đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc qua sự tồn tại chặn đều cho các độ dài thặng dư của một số môđun đối đồng điều địa phương Artin ứng với hệ tham số f-dãy chặt và qua sự tồn tại hệ tham số chính tắc hoán vị được.

2. Đưa ra mối liên hệ giữa chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương và chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc của nó. Đặc biệt hơn, chúng tôi chỉ ra rằng quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc luôn là tập con của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun ban đầu, và ngoài mối quan hệ đó thì chiều của hai quỹ tích không Cohen-Macaulay này hầu như là độc lập với nhau.

3. Làm rõ mối liên hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều và số bội của các môđun đối đồng điều địa phương Artin dưới tác động của chuyển phẳng , trong đó R là vành Noether địa phương, P là một iđêan nguyên tố của vành đầy đủ của R và p là tạo ảnh của P trong R.

4. Nghiên cứu tính Cohen-Macaulay và tính Cohen-Macaulay theo chiều lớn hơn s của các môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương, đồng thời đưa ra công thức liên hệ về chiều của các quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều lớn hơn s qua chuyển phẳng trên.

Các kết quả trên được viết trong 3 bài báo, trong đó hai bài được đăng trên Journal of Algebra (là tạp chí quốc tế SCI):

- Local cohomology modules via certain flat extension rings, Journal of Algebra, 503 (2018), 340-355.

- Non Cohen-Macaulay in dimension more than s locus, TNU-Journal of Science and Technology, 192 (2018), 23-28.

- Non Cohen-Macaulay locus of canonical modules, Journal of Algebra, Journal of Algebra, 525 (2019), 435-453.

CÁC ỨNG DỤNG, KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN

HOẶC NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU

Luận án cho một số thông tin về cấu trúc của môđun chính tắc, mối liên hệ giữa môđun chính tắc và môđun hữu hạn sinh ban đầu, thông tin về môđun Cohen-Macaulay theo chiều lớn hơn s; thông tin về tập các iđêan nguyên tố gắn kết, chiều, bội của môđun đối đồng điều địa phương Artin qua một chuyển phẳng đặc biệt.

Vấn đề nghiên cứu tiếp theo: đặc trưng tính Buchsbaum của môđun chính tắc; so sánh hệ số Hilbert của môđun chính tắc và của các môđun khuyết cũng như của môđun hữu hạn sinh ban đầu; Nghiên cứu tính đa thức của hàm độ dài thặng dư của các môđun đối đồng điều địa phương Artin ứng với các lũy thừa của các phần tử trong một hệ tham số f-dãy chặt, từ đó đặc trưng cấu trúc vành Noether địa phương và môđun hữu hạn sinh; Nghiên cứu chiều, số bội và tập iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun đối đồng điều địa phương Artin dưới tác động của một chuyển phẳng bất kì hoặc qua một số chuyển phẳng đặc biệt khác.

INFORMATION OF DOCTORAL DISSERTATION

Thesis title: “On canonical generalized Cohen-Macaulay modules and some non-Cohen-Macaulay loci over Noetherian local rings”

Major: Algebra and Number Theory      

Major code: 9 46 01 04

PhD. student: Luu Phuong Thao

Supervisors:

1. Prof.Dr. Le Thi Thanh Nhan

2. Dr. Tran Nguyen An

Training Institution: College of Science - Thai Nguyen University

THE NEW SCIENTIFIC FINDINGS

1. We introduce the notion of canonical system of parameters, and show the relation between the standard system of parameters and canonical system of parameters of a finitely generated module over a Noetherian local ring. We establish characterizations of canonical generalized Cohen-Macaulay modules through the existence of a uniform bound for residual lengths of certain Artinian local cohomology modules with respect to strict f-sequence systems of parameters as well as the existence of a unconditioned canonical system of parameters.

2. We give the relation between the dimension of non-Cohen-Macaulay locus of the canonical module and that of the original module. In more detail, we show that the non-Cohen-Macaulay locus of the canonical module is always contained in the non-Cohen-Macaulay locus of the original module. Besides this relation, the dimensions of these two loci are almost independent of each other.

3. We clarify the relations among attached primes, dimension and multiplicity of Artinian cohomology modules under the flat base change , where R is a Noetherian local ring, P is a prime ideal of the completion of R and p is the inverse image of P in R.

4. We study the Cohen-Macaulayness and Cohen-Macaulayness in dimension more than s of finitely generated modules over local rings. We give a relation on the dimensions of non-Cohen-Macaulay locus in dimension more than s via the above flat base change.

The above new results of the thesis are writen in 3 papers, two of them are published in Journal of Algebra (an international SCI journal):

- Local cohomology modules via certain flat extension rings, Journal of Algebra, 503 (2018), 340-355.

- Non Cohen-Macaulay in dimension more than s locus, TNU-Journal of Science and Technology, 192 (2018), 23-28.

- Non Cohen-Macaulay locus of canonical modules, Journal of Algebra, Journal of Algebra, 525 (2019), 435-453.

APPLICATIONS, POSSIBILITIES OF APPLICATION IN PRACTICALITY, UNANSWERED ISSUES REQUIRING

In this thesis, we give some information on the structure of canonical module; the relation between the canonical module and the original module; on Cohen-Macaulay in dimension more than s modules; on attached primes, dimension and multiplicity of Artinian cohomology modules under certain flat base change.

The research problems that we will study are: Characterize the Buchsbaumness of the canonical modules; compare the Hilbert coefficients of canonical module, the deficiency modules and the original module; The polynomial property of the residual length function of certain Artinian local cohomology modules with respect to powers of the parameters of a strict f-sequence; Study the attached primes, dimension, multiplicity of Artinian local cohomology modules under an arbitrary  flat base change.

Nguồn: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.