TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN TIẾN SĨ

Tên đề tài luận án: Phân tích bất khả quy trong lý thuyết đồ thị và nghiên cứu hệ số Hilbert.

Ngành: Đại số và Lý thuyết số. 

Khóa: 2017 – 2021.

Mã số: 9 46 01 04

Họ tên nghiên cứu sinh: Nguyễn Thị Thanh Tâm

Tập thể hướng dẫn:

1. PGS.TS. Hoàng Lê Trường

2. GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn

Đơn vị đào tạo: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Cơ sở đào tạo: Đại học Thái Nguyên.

NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN

 - Đặc trưng tính Cohen-Macaulay của môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy và số bội bất khả quy ứng với một iđêan tham số.

- Đặc trưng tính Cohen-Macaulay cho vành Noether địa phương thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy và các hệ số Hilbert của một iđêan tham số.

- Chỉ ra tính chất của thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh  với  thông qua các bất biến tổ hợp. Áp dụng Định lý này cho trường hợp  chúng tôi thu được kết quả đã có của Terai-Trung (năm 2014) và Herzog-Hibi (năm 2015) về điều kiện cần và đủ để  

- Giới thiệu khái niệm tập cặp trội tới hạn, chỉ ra phương pháp xác định một số thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh thông qua sự tồn tại của tập cặp trội tới hạn của đồ thị  và đưa ra một đặc trưng đại số đầu tiên của đồ thị nhân tử tới hạn thông qua tập iđêan đơn thức bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị

 CÁC ỨNG DỤNG, KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN

HOẶC NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU

 +Thứ nhất, luận án đã chỉ ra được hai đặc trưng của vành (môđun) Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy và các hệ số Hilbert ứng với iđêan tham số. Bài toán đặc trưng một số loại môđun đóng vai trò trung tâm trong Đại số giao hoán như môđun Cohen-Macaulay dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Buchsbaum thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy, hệ số Hilbert và các bất biến khác trong vành Noether địa phương vẫn đang là một vấn đề thời sự.

+ Thứ hai, bài toán nghiên cứu thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh được nghiên cứu lần đầu tiên bởi N.T. Dung, N.T.T. Tâm, H.L. Trường và H.N. Yến. Do đó còn nhiều vấn đề còn bỏ ngỏ và cần được tiếp tục nghiên cứu.

INFORMATION OF DOCTORAL DISSERTATION

Research title: “Irreducible decomposition in graph theory and studying Hilbert  coefficients”

Major: Algebra and Number Theory                     

Code: 9 46 01 04

PhD candidate: Nguyen Thi Thanh Tam

Research supervisors:

 1. Prof. Dr.  Hoang Le Truong

2. Prof. Dr.  Le Thi Thanh Nhan

Training institution:  University of Science - Thai Nguyen University.

NEW SCIENTIFIC FINDINGS OF THE DISSERTATION

 + Giving a characterization of Cohen-Macaulayness of a finitely generated module  over a Noetherian local ring via the relationship between the index of reducibility and the irreducible multiplicity for a parameter ideal  of     

+ Giving a characterization of Cohen-Macaulayness of a Noetherian local ring in terms of the index of reducibility and Hilbert coefficients with respect to a parameter ideal  of

+ Studying irreducible components of powers of the edge ideals  for all  in terms of combinatorial invariants. As a consequence in case where , we get the main theorem of the papers by Terai-Trung in 2014 and Herzog-Hibi in 2015 about the necessary and sufficient conditions for the vanishing of

+ Introducing the concept of a critical paired dominating set for a graph  showing a method to determine some irreducible components of powers of the edge ideals of  through the existence of critical paired dominating set of a graph; giving an algebraic characterization of a factor-critical graph in terms of the set of irreducible monomial ideals of powers of the edge ideals (this is the first algebraic characterization of a factor-critical graph).

APPLICATIONS IN PRACTICE

AND RECOMMENDATIONS FOR FURTHER STUDIES 

 + Firstly, the thesis shows two characterizations of the Cohen-Macaulay rings and modules through the relationships between the reducibility index and the Hilbert coefficients with respect to parameter ideals. The problem of characterizing the structure of generalized Cohen-Macaulay modules, Buchsbaum modules, sequentially Cohen-Macaulay modules,… over a Noetherian local ring via the relationships between reducibility index, Hilbert coefficients and other invariants is still open problem.

+ Secondly, studying the irreducible components of powers of the edge ideals of a graph was first examined by N.T. Dung, N.T.T. Tam, H.L. Truong and H.N. Yen. Therefore, there are still many open problems about this problem of powers of the edge ideals.

Nguồn: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên