TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN TIẾN SĨ

Tên đề tài luận án: “Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán”

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số 

Mã số: 9 46 01 04

Họ tên nghiên cứu sinh: Trần Đức Dũng

Người hướng dẫn khoa học:

      Hướng dẫn 1: GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường

      Hướng dẫn 2: GS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn

Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.

NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA ĐỀ TÀI

- Giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy của môđun hữu hạn sinh M trên vành Noether địa phương, kí hiệu là  sp(M), để đo tính không Cohen-Macaulay dãy của M. Luận án chỉ ra rằng sp(M) chính là chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy của M nếu vành cơ sở là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương.

- Mô tả kiểu đa thức dãy dưới tác động của địa phương hóa và đầy đủ hóa. Chỉ ra mối quan hệ giữa sp(M) và  sp(M/xM), trong đó x là phần tử lọc chính quy chặt. Tính toán kiểu đa thức dãy của M thông qua chiều và kiểu đa thức của các môđun khuyết thiếu của M với giả thiết vành cơ sở là thương một vành Gorenstein địa phương;

- Đưa ra công thức chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số tốt của M trong trường hợp kiểu đa thức dãy của M nhỏ hơn hoặc bằng 1.

- Đưa ra công thức tính chỉ số khả quy của môđun Artin A trong trường hợp A có độ dài hữu hạn. Chỉ ra mối quan hệ giữa chỉ số khả quy của các môđun con của M với chỉ số khả quy của đối ngẫu Matlis của các môđun thương tương ứng của M.

CÁC ỨNG DỤNG, KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN  

HAY NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU

- Kết quả của P.H. Quý (2013) phát biểu rằng nếu kiểu đa thức của M nhỏ hơn hoặc bằng 1 thì tồn tại chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số của M. Câu hỏi liệu rằng có tồn tại hay không chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số của M khi kiểu đa thức của M bằng 2 vẫn là câu hỏi mở. Chú ý rằng trong trường hợp kiểu đa thức của M lớn hơn hoặc bằng 2, chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số của M có thể không tồn tại (S. Goto và N.Suzuki ,1984)). Đây là vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu.

- Nghiên cứu chỉ số khả quy trong phạm trù môđun Artin trên vành giao hoán.

INFORMATION OF DISSERTATION

Title of dissertation: “On sequential polynomial type and reducibility index of modules on commutative rings”

Speciality: Algebra and Number Theory      

Code number: 9.46.01.04

PhD. Candidate: Tran Duc Dung

Scientific Supervisors:

1. Prof. Dr. Sc. Nguyen Tu Cuong
2. Prof. Dr.  Le Thi Thanh Nhan

Training institution:  University of Science - Thai Nguyen University. 

NEW RESULTS OF THE TOPIC 

- We introduce the notion of sequential polynomial type of finitely generated module M, which is denoted by sp(M), in order to measure how far M is different from the sequential Cohen-Macaulayness. We proved that sp(M) is the dimension of the non sequentially Cohen-Macaulay locus of M if whenever the base ring is a quotient of a Cohen-Macaulay local ring.

- We study the sequential polynomial typer under localization and completion. We show the relationship between sp(M) and sp(M/xM), where x is a strict f-element of M. We describe sp(M) in term of the deficiency modules of M when the base ring is  a quotient of a Gorenstein local ring.

- We give a uniform bound for the index of  reducibility with respect to good parameter ideals of M in case where sp(M) 16≤1"> .

- We compute the reducibility index of a module Artin in case of A is of finite length. We clarify the relationship between the reducibility index of a submodule N of M and the reducibility index of  Matlis dual of the quotient module M/N.

APPLICATIONS, POSSIBILITIES OF APPLICATION IN PRACTICALITY,

UNANSWERED ISSUES REQUIRING

- P. H. Quy (2013) proved that there exists a uniform bound for the index of reducibility with respect to all parameter ideals of M whenever the polynomial type of M at most 1. In case where the polynomial type of M is more than 2, such a uniform bound does not necessarily exists. So, the remain open question for us to study is whether there exists such a uniform bound for the case where the polynomial type of M is equal to 2.

- To study the index of reducibility in the category of Artinian modules on commutative rings.

Nguồn: Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên.