TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN TIẾN SĨ

Tên đề tài luận án tiến sĩ: “Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ”.

Ngành: Toán giải tích 

Mã số: 9460102 

Họ và tên NCS: Đinh Diệu Hằng 

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Đỗ Văn Lưu 

Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên 

NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN

1. Thiết lập các điều kiện tối ưu cho các nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ với ràng buộc đẳng thức, ràng buộc nón và ràng buộc tập dưới ngôn ngữ các dưới vi phân Clarke với điều kiện chính quy thích hợp. Các điều kiện đủ được dẫn với các điều kiện về tính ∂-tựa lồi cho hàm ràng buộc. Khi sử dụng kết quả của D.V. Luu (2012), các điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc đẳng thức, ràng buộc theo nón lồi đa diện và ràng buộc tập qua dưới vi phân Michel-Penot được thiết lập.           

2. Thiết lập các điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ qua phần trong tựa tương đối trong các trường hợp không có ràng buộc và có ràng buộc bằng cách sử dụng định lý tách của Cammaroto-Bella (2005) và sử dụng kết quả của Jiménez-Novo (2003) về nón của giao hai tập. Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán đó được dẫn với các giả thiết về tính ∂-giả lồi và ∂-tựa lồi. Các kết quả đó được áp dụng để dẫn các điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức vectơ và bài toán tối ưu vectơ.

3. Thiết lập các điều kiện cần Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ không trơn với ràng buộc cân bằng (VEPEC) dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke; Với các điều kiện chính quy thích hợp cho bài toán với ràng buộc cân bằng, các điều kiện cần Kuhn-Tucker được thiết lập. Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu với các giả thiết về tính lồi suy rộng được chứng minh. Các kết quả được áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ.

4. Đưa ra các ví dụ minh họa cho các kết quả đã nhận được.

CÁC ỨNG DỤNG, KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN HOẶC NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU

* Các ứng dụng, khả năng ứng dụng trong thực tiễn

Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ và bất đẳng thức biến phân vectơ có thể sử dụng để xây dựng thuật toán để tìm nghiệm cho bài toán cân bằng vectơ và bất đẳng thức biến phân vectơ.

* Những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu

1. Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng với ràng buộc nón không trơn qua Jacobian suy rộng Clarke và Jacobian xấp xỉ.

2. Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng với ràng buộc cân bằng không trơn qua dưới vi phân suy rộng và Jacobian xấp xỉ.

3. Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp không trơn qua dưới vi phân Clarke và dưới vi phân Michel-Penot.

INFORMATION OF DOCTORAL DISSERTATION

Dissertation title: Optimality conditions for vector equilibrium problems

Speciality: Mathematical Analysis

Code: 9460102

PhD. Candidate: Dinh Dieu Hang

Supervisors: Assoc. Prof. Dr. Do Van Luu

Training Institute: University of  Education - Thai Nguyen University

NEW SCIENTIFIC FINDINGS OF THE DISSERTATION

1. Establish the optimality conditions for weak efficient solution, efficient solution, global efficient solution of vector variational inequalities with equality, cone and set constraints in terms of the Clarke subdifferentials under suitable constraint qualifications. The sufficient optimality conditions are given under assumptions on ∂-quasiconvexity of constraint functions. Making use of a result by D.V. Luu (2012), optimality conditons for vector variational inequalities with equality constraints, a polyhedral convex cone constraint and a set constraint via Michel-Penot are derived.

2. Establish the optimality conditions for efficient solution of vector equilibrium problems with and without constraints via the quasirelative interiors by using the separation theorem of Cammaroto-Bella (2005) and a result by Jiménez-Novo (2003) on the cone of intersection of two sets. The sufficient optimality conditions are derived with assumptions on ∂-quasiconvexity and ∂-quasiconvexity of functions in the problem. These results are applied to vector variational inequalities and vector optimization problems.

3. Establish Fritz John necessary optimality conditions for weak efficient solution of nonsmooth vector equilibrium problems with equilibrium constraints (VEPEC) via the Clarke subdifferentials. Under the assumptions on suitable constraint qualifications to vector equilibrium problems, Kuhn-Tucker necessary optimality conditions are derived. Sufficient conditions for weakly efficient solutions are derived with assumptions on generalized convexity. The obtained results are applied to vector variational inequalities and vector optimization problems.

4. Give a number of examples illustrating for the obtained results.

APPLICATIONS IN PRACTICE

AND THE NEEDS FOR FURTHER STUDY

The practical applications

Optimality conditions for efficient solution of vector equilibrium problems and vector variational inequalities can be used to construct algorithms for finding solutions of vector equilibrium problems and vector variational inequalities.

Further studies needed

1. Study optimality conditions for vector equilibrium problems with nonsmooth cone constraint via the generalized Clarke Jacobian and approximate Jacobian.

2. Study optimality conditions for nonsmooth vector equilibrium problems with equilibrium constraint via convexificators and approximate Jacobians.

3. Study optimality conditions for nonsmooth bilevel vector variational inequalities via the Clarke and Michel-Penot subdifferentials.

Nguồn: Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên.