TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN TIẾN SĨ

Tên đề tài luận án tiến sĩ: "Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach"

Ngành: Toán Giải tích Mã số: 9460102

Họ và tên NCS: Trần Thị Hương

Người hướng dẫn khoa học:

1. PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy
2. GS.TS. Nguyễn Bường 

Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên

NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN

1. Đề xuất phương pháp hiệu chỉnh mới hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh với toán tử đơn điệu, thế năng và toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach; đưa ra và chứng minh sự hội tụ mạnh của các phương pháp.

2. Đưa ra cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch, nguyên lý tựa độ lệch suy rộng và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh.

3. Xấp xỉ hữu hạn chiều và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh khi đã được xấp xỉ hữu hạn chiều cho bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach.

4. Đề xuất một phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đơn điệu và chứng minh sự hội tụ của phương pháp.

5. Đưa ra một số ví dụ số minh họa cho sự hội tụ của các phương pháp đã nghiên cứu trong không gian hữu hạn chiều và vô hạn chiều.

CÁC ỨNG DỤNG, KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN

HOẶC NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU

Các ứng dụng, khả năng ứng dụng trong thực tiễn

Bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach được ứng dụng trong nhiều bài toán thực tế như: bài toán khôi phục ảnh, bài toán khôi phục tín hiệu, bài toán diều khiển tối ưu, bài toán tìm điểm bất động chung của họ ánh xạ không giãn, bài toán chấp nhận lồi, bài toán cực trị không ràng buộc v.v…

Những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu

1. Nghiên cứu giảm nhẹ các điều kiện đặt lên các toán tử và các điều kiện đặt lên không gian Banach.

2. Nghiên cứu các tiêu chuẩn dừng cho phương pháp hiệu chỉnh lặp đã đề xuất.

3. Nghiên cứu và xây dựng ví dụ số trong các không gian Banach với tham số hiệu chỉnh chọn hậu nghiệm.

INFORMATION OF DOCTORAL DISSERTATION

Dissertation title: "Regularization Methods for Finding a Solution of a System of Monotone Operator Equations in Banach Spaces"

Speciality: Mathematical Analysis Code: 9460102

PhD. Candidate: Tran Thi Huong

Supervisors:

          1. Assoc. Prof. Dr. Nguyen Thi Thu Thuy

          2. Prof. Dr. Nguyen Buong

Training Institute: University of Education - Thai Nguyen University

NEW SCIENTIFIC FINDINGS OF THE DISSERTATION

The dissertation has:

1. proposed methods for finding a regularized solution for a system of ill-posed equations with monotone, potential operators and inverse-strongly monotone operators in Banach spaces; given and proven the strong convergence of the methods.

2. proposed a procedure for choosing regularization parameters according to the quasi-residual and generalized quasi-residual principle and estimated the convergence rate of the regularized solution.

3. estimated the convergence rate of the regularized solution in connection with the finite-dimensional approximation for the problem of finding a solution of the system of monotone ill-posed operator equations in Banach spaces.

4. proposed and proven the convergence of an iterative regularization method for solving the system of monotone operator equations.

5. given some examples of numerical experiments to illustrate the convergence of the studied methods.

APPLICATIONS IN PRACTICE AND THE NEEDS FOR FUR THER STUDIES

The practical applications

The problems of finding the solution of the system of monotone operator equations in Banach spaces are applied to many practical problems such as: image reconstruction problems, signal recovery problems, optimal control problems, some models of economic problems leading to the form of complementarity problem, problem of finding the general fixed point of a family of nonexpansive mappings, convex feasibility problems, unconstrained optimization problems, etc.

Recommendations for further studies

1. Studying how to relax the conditions on operators and Banach space.

2. Studying the stopping rule for the proposed iterative regularization methods.

3. Studying and constructing some numerical examples in Banach spaces with the regularization parameter posteriori choice.

Nguồn: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên